Dành tặng các em học sinh lớp 12, tài liệu này tổng hợp toàn bộ lý thuyết nền tảng và 12 công thức quan trọng để tính thể tích khối chóp, kèm theo những ví dụ minh họa chi tiết và phương pháp giải bài tập nhanh gọn. Đây không chỉ là một nguồn tham khảo quý giá mà còn là người bạn đồng hành giúp các em tự tin chinh phục mọi thử thách trong kỳ thi sắp tới. Đừng bỏ lỡ cơ hội nắm chắc kiến thức để mở ra cánh cửa tương lai rực rỡ!
1. Khối chóp là gì?
Khối chóp là một khối hình học không gian được giới hạn bởi một đáy là một đa giác phẳng và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh, gọi là đỉnh của khối chóp.
- Đáy: Là một đa giác (tam giác, tứ giác, ngũ giác,…) nằm trong một mặt phẳng. Đáy là một phần giới hạn của khối chóp.
- Mặt bên: Là các tam giác có chung một đỉnh (đỉnh chóp) và các cạnh chung với đáy. Số mặt bên bằng số cạnh của đáy.
- Đỉnh chóp: Là điểm duy nhất không nằm trên mặt phẳng đáy, nơi các mặt bên hội tụ.
- Chiều cao: Là khoảng cách vuông góc từ đỉnh chóp đến mặt phẳng chứa đáy.
Phân loại khối chóp
- Khối chóp tam giác: Mặt đáy là tam giác.
- Khối chóp tứ giác: Mặt đáy là tứ giác.
- Khối chóp đều: Mặt đáy là đa giác đều, và các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh.
- Khối chóp cụt: Được tạo thành khi một khối chóp bị cắt bởi một mặt phẳng song song với đáy.
2. Công thức tính Thể Tích khối Chóp
\[V = \frac{1}{3}.B.h\]
Trong đó:
- \(V\): Thể tích của khối chóp.
- \(B\): Diện tích của mặt đáy.
- \(h\): Chiều cao của khối chóp (là khoảng cách vuông góc từ đỉnh tới mặt đáy).
Ý nghĩa công thức
Hệ số \(\frac{1}{3}\) trong công thức cho thấy thể tích khối chóp chỉ bằng \(\frac{1}{3}\) thể tích của khối lăng trụ có cùng diện tích đáy và chiều cao.
Công thức này áp dụng cho mọi loại khối chóp, bất kể hình dạng của mặt đáy.
3. Chứng minh công thức thể tích khối chóp
Chứng minh trong trường hợp đặc biệt: Khối chóp tam giác
Xét khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) và chiều cao \(h = SH\), với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABC)\).
Khối lăng trụ liên quan:
Tưởng tượng khối chóp \(S.ABC\) được đặt trong một khối lăng trụ tam giác có cùng đáy \(ABC\) và chiều cao \(SH = h\).
Thể tích khối lăng trụ là: $V_{\text{lăng trụ}} = B \cdot h$, với \(B\) là diện tích tam giác \(ABC\).
Khối chóp là \(\frac{1}{3}\) khối lăng trụ:
Khối chóp \(S.ABC\) chiếm \(\frac{1}{3}\) thể tích của khối lăng trụ, vì:
– Mỗi khối lăng trụ có thể được chia thành ba khối chóp bằng nhau.
Do đó: $V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$
Chứng minh tổng quát cho khối chóp bất kỳ
Trường hợp đáy là một đa giác (không phải tam giác), ta chia mặt đáy thành các tam giác nhỏ.
Tính thể tích từng khối chóp nhỏ có đáy là các tam giác đó.
Tổng thể tích các khối chóp nhỏ sẽ bằng thể tích khối chóp ban đầu, và vẫn tuân theo công thức: $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$
4. Các dạng bài tập tính thể tích khối chóp
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp trong trường hợp đơn giản
Cho diện tích mặt đáy \(B\) và chiều cao \(h\), áp dụng trực tiếp công thức: $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$
Ví dụ: Cho khối chóp \(S.ABC\) có mặt đáy là tam giác \(ABC\) với diện tích \(B = 24 \, \text{cm}^2\), và chiều cao \(h = 9 \, \text{cm}\). Tính thể tích khối chóp.
Giải
$V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = 72 \, \text{cm}^3$
Dạng 2: Tính thể tích khi biết các cạnh của đáy
Nếu đáy là một tam giác hoặc đa giác, ta cần tính diện tích đáy trước, sau đó áp dụng công thức thể tích.
Ví dụ: Cho khối chóp \(S.ABC\), trong đó đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), với \(AB = 6 \, \text{cm}\), \(AC = 8 \, \text{cm}\). Chiều cao \(SH = 10 \, \text{cm}\). Tính thể tích khối chóp.
Giải
Diện tích tam giác \(ABC\): $B = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{cm}^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 10 = 80 \, \text{cm}^3$
Dạng 3: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông
2)Tính thể tích khối chóp SABC
Lời giải
Dạng 4: Khối chóp đều
Ví dụ: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải
Dựng SO ⊥ (ABC)
Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có tam giác ABC đều nên
Dạng 5: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Lời giải
Dạng 6: Phương pháp tỷ số thể tích tứ diện
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, $AC = a\sqrt 2 $, SA vuông góc với đáy ABC , SA = a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SB,SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải
5. Các công thức tính thể tích khối chóp cần nhớ
Để bạn có thể tính nhanh khi gặp dạng bài yêu cầu tính thể tích khối chóp, mình giới thiệu 12 công thức quan trọng sau:
Tóm lại: Thể tích khối chóp là một trong những kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong toán học và thực tế. Công thức \(V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h\) không chỉ đơn thuần là một biểu thức toán học, mà còn chứa đựng sự hài hòa và tinh tế của hình học không gian. Việc nắm vững công thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách vở, mà còn mang lại kiến thức ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.